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　　有限元剖析（Finite Element Analysis，FEA）软件可以协助企业削减在产品或许流程的规划、优化或操控环节中，原型测验的原型数量和测验次数。关于企业和研讨组织来说，有限元仿真剖析带来的不只仅是本钱的下降，更重要的是在剧烈的市场竞赛中赢得优势，为研制投入带来了更大的报答。正因如此，近年来，越来越多的企业将更多的研制资源投入到有限元剖析中。

　　一旦树立了可以准确猜想实在物理参数的有限元剖析模型，工程师们就可以凭借它来加强对物理现象的了解和知道，以大幅改善产品或进程的规划和运转。在此根底上，优化算法和主动操控的运用，可以进一步完成仅凭直觉彻底无法抵达的规划改善。现在的有限元剖析软件大多已包括主动操控功用，并将这些功用嵌入数学和数值模型中，而优化算法也一般包括在求解进程中，下文将会具体介绍。

　　高保真模型的引进，可以协助工程师们加深了解、激起创意，带来全新的规划和计划。正是因为这个原因，关于面对着剧烈竞赛的企业来说，有限元剖析是研制部门不可或缺的东西。近年来，有限元剖析软件的运用越来越广泛，现已从大型企业以及工程师的培育组织，扩展到各行各业的中小型企业和触及各个学科的研讨型组织中。

　　依据数学模型标明的物理规律构成了有限元剖析软件的根底。关于有限元剖析来说，这些规律包括各项守恒规律、经典力学规律和电磁学规律。

　　经过运用有限元法（FEM）将数学模型离散化，可以得到相应的数值模型；随后求解离散方程，并对成果进行剖析，这就是有限元剖析这一术语的意义。

　　经过数学语言对物理规律在空间和时间进行表述，即发生了偏微分方程（PDE）。偏微分方程的解用因变量标明，如结构位移、速度场、温度场和电势场，等等。解是依据自变量 x、y、z 和 t 在空间和时间标准上进行描绘的。

　　求解给定体系的偏微分方程，不只可以协助咱们了解咱们所研讨的体系，还可以对其做出合理的猜想。有限元剖析首要用于了解、猜想、优化以及操控产品或进程的规划和运转。

　　关于结构力学而言，物理描绘依据力平衡规律以及将应力应变相关的本构联系，胡克规律就是这种联系的典型示例。传统的有限元剖析一般仅限于结构剖析。

　　流体活动、传热和传质中的描绘依据动量、质量和能量守恒规律，其间的通量往往由对流和耗散或分散组合而成。耗散和分散的准确办法由某个本构联系给出，例如，牛顿流体的黏性应力、傅里叶热传导规律和菲克分散规律。

　　经过高斯规律可以将静电场与电荷量相相关，依据安培规律可以确认磁场与电流的联系，依据法拉第规律，可以运用麦克斯韦方程组剖析动力学，比方时变磁场发生的感应电场。麦克斯韦自己的决议性奉献在于，他引进了时变电场发生的位移电流，然后完善了对电磁场波特性的描绘。

　　MEMS 履行器经过焦耳热效应使两个通电热臂（白色和黄色）发生热膨胀，热膨胀会发生结构位移，然后推进履行器作业。这是有限元剖析中的多物理场典型事例。您可以观看以下视频，了解怎么从头开始构建此模型：怎么运用 COMSOL Multiphysics 树立并运转仿真。

　　MEMS 履行器经过焦耳热效应使两个通电热臂（白色和黄色）发生热膨胀，热膨胀会发生结构位移，然后推进履行器作业。这是有限元剖析中的多物理场典型事例。您可以观看以下视频，了解怎么从头开始构建此模型：怎么运用 COMSOL Multiphysics 树立并运转仿真。

　　咱们可以将结构力学、流体活动、传热、传质和电磁学中运用的规律结合起来，用于描绘多种物理现象互相作用的体系，也就是一般所说的多物理场体系。例如，在描绘微机电体系（MEMS）时，一般需求结合运用结构力学规律和电磁学规律。在描绘流-固耦合（FSI）时，需求结合运用结构力学规律和流体活动规律。

　　体系的数学模型可以包括一个或多个偏微分方程来描绘相关规律，一起包括鸿沟条件和初始条件。鸿沟条件用于对解和部分建模域（如外表、边或点）施加额定的条件，同一个模型可以运用多种不同的鸿沟条件。初始条件用于界说体系在时变事情开始时的状况。

　　这是一个依据能量守恒树立的散热器数学模型，可以得到温度场 T 的热方程，即上图中的第一个方程。本构联系是傅里叶热传导规律，其间 k 标明导热系数。上述方程在散热器域（Ω）内部有用，其间 ρ 和 Cp 别离标明资料密度和热容。在散热器底座（∂Ω

　　）上，上图第二个方程中的温度（用 T 标明）被束缚为 Thot，用来标明第一个鸿沟条件。在除底座以外的其他一切鸿沟（∂Ω

　　）上，每个点的热通量都与温度骤变（骤变到鸿沟层外的环境温度）成正比。h 标明传热系数；n 标明向外指向鸿沟外表的法矢，具有共同的长度。假如环境温度低于散热器的部分温度，则散热器会开释热量。

　　这是一个依据能量守恒树立的散热器数学模型，可以得到温度场 T 的热方程，即上图中的第一个方程。本构联系是傅里叶热传导规律，其间 k 标明导热系数。上述方程在散热器域（Ω）内部有用，其间 ρ 和 Cp 别离标明资料密度和热容。在散热器底座（∂Ω

　　）上，上图第二个方程中的温度（用 T 标明）被束缚为 Thot，用来标明第一个鸿沟条件。在除底座以外的其他一切鸿沟（∂Ω

　　）上，每个点的热通量都与温度骤变（骤变到鸿沟层外的环境温度）成正比。h 标明传热系数；n 标明向外指向鸿沟外表的法矢，具有共同的长度。假如环境温度低于散热器的部分温度，则散热器会开释热量。

　　从物理学视点来看，鸿沟条件和初始数据一般是模型的天然组成部分（例如，结构力学中的载荷和束缚，流体活动剖析中进口和出口的压力水平，以及静电学中的终端电势）。从数学的视点来看，鸿沟条件和初始数据可以从许多的或许解中选出仅有的解。

　　一个正确认义的数学模型往往具有适定性。假如一个数学模型具有仅有解，而且这个解接连依赖于问题的数据（即源项、通量、束缚值和初始值），则该模型是适定的。假如模型不适定，则会在数值模型中反映出来，并会在求解进程中出现问题。

　　从理论的视点来讲，一般很难确认实践中的非线性三维模型是否适定；鉴于此，用于根底剖析的模型都经过了许多简化。经过这些简化模型得出的定论可以用来评价更靠近实践的模型的功能体现。即就是适定模型，也或许对模型数据的改动十分灵敏，这类模型在本质上是病态或灵敏模型。

　　经过现代数值办法求解偏微分方程，完成了数学运用的革命性打破。原因在于，只要在十分特别的状况下（例如方程与简略几许的特定组合中）才干得到数学模型的解析解。虽然这些状况从理论上来说十分重要，但对工程师而言用途并不大。数值办法打破了这个束缚，可以处理非线性问题和杂乱的几许结构。虽然数值办法还存在其他方面的核算难题（请拜见下面的“解”部分），但对新模型和几许的适用性没有任何问题。

　　数值办法可以给出适定数学模型的近似解。大部分数值办法都以建模域和所描绘因变量的离散为根底。有限差分法、有限体积法和有限元法是最常用的离散化办法。望文生义，有限元法（FEM）用于进行有限元剖析。

　　对所描绘体系的数学模型进行离散化，可以得到对应的数值模型，后者是前者的离散近似。运用数值模型代替数学模型会引进差错，这种差错称为截断差错。

　　截断差错被界说为数值模型与数学模型的解之间的差值。假如数值模型安稳且共同，则截断差错挨近于零，这是因为单元尺度挨近于零（即数值解收敛于数学模型的解）。截断差错会以必定的速度收敛；速度由精度阶数测得。假如精度阶数为正数，则阐明模型具有共同性。

　　有限元法的起点是数学模型的弱办法。经过引进试函数，并将偏微分方程与这些试函数相乘，然后在建模域中对其进行积分，即可从逐点偏微分方程得到这种办法（也称为强办法）。您可以挑选将这一进程与分部积分法结合运用。每个试函数都有必要坚持积分联系。为了与偏微分方程共同，有必要有无量多的试函数，而且这些试函数有必要具有遍及的适用性。如此一来，就有必要坚持无量多个积分联系，而建模域中每个点的逐点偏微分方程也有必要坚持不变。

　　有限元法引进的试函数经过核算网格进行界说。每个核算单元或网格单元都有多个部分界说的试函数。此外，有限元法中还界说了形函数，作为其根本组成部分。这些形函数用来标明候选解。关于瞬态问题，有限元法往往只用于空间离散化。在这种状况下，也就是在有限元离散之后得到的方程组是常微分方程组（ODE）。这个方程组转而运用有限差分法或其他类似办法进行离散。

　　这儿，形函数只在空间上改动，而不知道数只在时间上改动。在有限元法中，权重也称为自由度。在伽辽金有限元办法中，形函数与试函数具有相同的类型。然后，结合运用弱办法与鸿沟条件为不知道数树立有限代数方程组。

　　每个节点j都只要几个形函数i与试函数j堆叠；因而，上面的积分只能在同享同一节点j的单元上进行核算。请留意，假如节点j是一个鸿沟节点，则鸿沟奉献不为零。对不知道数而言，这是一个线性常微分方程——至少在资料特点与温度无关的状况下如此。

　　依据一般的经历，假如偏微分方程对错线性的，则不知道数问题一般也对错线性的。还请留意，这个方程组只包括通量鸿沟条件，不包括指定温度条件，您有必要将其作为附加束缚条件进行增加。

　　在为不同的网格单元类型和方程挑选试函数和形函数方面，有限元法供给了适当大的自由度。“非结构化”网格的参加单元在尺度和形状上往往存在较大差异；这种网格的有限元公式使得该办法能以相对较低的本钱运用于十分杂乱的几许结构，主动生成非结构化网格也愈加简略一些。在大多数状况下，形函数和试函数为易于界说和积分的低阶多项式。此外，与弱办法的密切联系为该办法供给了坚实的数学根底，其间的数学理论现已开展得十分老练。

　　与从左向右活动的周围空气的温度比较，散热器内部的温度改动起伏很小。因为散热器资料（铝）的导热系数远大于空气（而且空气混合不均匀），因而能推测出散热器内部的温度改动不大。在该仿真中，散热器模型经过方程得到了扩展，包括散热器周围空气的能量守恒方程，以及体现质量守恒和动量守恒的流体活动方程。整个方程组经过有限元法进行离散和求解。

　　与从左向右活动的周围空气的温度比较，散热器内部的温度改动起伏很小。因为散热器资料（铝）的导热系数远大于空气（而且空气混合不均匀），因而能推测出散热器内部的温度改动不大。在该仿真中，散热器模型经过方程得到了扩展，包括散热器周围空气的能量守恒方程，以及体现质量守恒和动量守恒的流体活动方程。整个方程组经过有限元法进行离散和求解。

　　因为前史原因，传统的有限元剖析目标首要是依据结构力学的模型，只在较小范围内触及传热。跟着多物理场建模运用的日益广泛，有限元法在流体活动和电磁仿真中得到了遍及运用，“有限元剖析”一词也逐步被其他工程和科学范畴所承受和认可。事实上，无论是在何种运用范畴，有限元剖析进程都是相同的。

　　有限元剖析要求模型几许“严密相连”。核算机辅助规划（CAD）几许结构并不总是用于剖析意图。举个比如，实践生活中的某个物体可以经过 CAD 绘图中一组松懈衔接的三维外表来描绘；可是在有限元剖析中，这些外表有必要可以构成一个实在的体。

　　即便 CAD 绘图中的一组三维外表可以构成一个别，但很或许存在一些外表过于细长，而一些边关于几许尺度而言又过短的状况。这样一来，这些不抱负的几许特征上便会发生不符合要求的单元散布。

　　为了预备一个可用于有限元剖析的 CAD 几许，一般需求对几许进行修正和特征去除。修正操作可以修补几许中不“严密相连”的部分，特征去除操作可以移除细长外表或兼并剩余的小边。

　　为了进行剖析而创立、修正 CAD 几许以及去除特征的进程，一般是更大进程的一个环节——在有限元剖析中，传统上称之为预处理。

　　数学模型中的本构联系触及资料的物理特点，这些特点或许与建模变量（“因变量”）相关。例如，在热膨胀剖析中，机械特点和热特点往往与温度相关。

　　在实践操作中，需求正确估量资料特点和参阅点的有用距离。除此之外，还有必要为几许的各个部分指使不同特点的资料。

　　在结构力学中，经过为体系挑选的资料、载荷及束缚可以界说数学模型。一般状况下，设置资料、域方程、鸿沟条件和初始条件，即可界说数学模型。

　　这部分的剖析触及挑选几许域、鸿沟、边和点，以及为这些几许实体指使方程、载荷或束缚。这些设置的界说进程一般也认为是传统有限元剖析中预处理的一部分。

　　几许、资料、域设置、鸿沟条件、初始条件、荷载及束缚的界说无需离散化即可进行。可是，在许多较旧的有限元剖析软件中，仍然是依据离散模型来履行这些操作。

　　网格创立完成后，咱们便得到一个完好的数值模型。不同的现象和剖析需求运用不同的网格设置。例如，在波的传达问题（例如，结构力学中的弹性波建模，或许射频剖析中的电磁波建模）中，最大单元的尺度有必要远小于波长才干正确求解问题。在流体活动中，或许需求鸿沟层网格才干解析鸿沟层，而单元雷诺数可以确认流体本体的单元尺度。

　　在许多状况下，CAD 几许的不同部分有必要独自进行网格剖分。各部分之间界面处的模型变量有必要经过有限元剖析软件进行匹配，这一操作可以经过接连性束缚（即用于将不同部分的有限元离散互相相关的鸿沟条件）来完成。因为这些条件或许具有非部分特性，它们一般被称为多点束缚。

　　在传统的有限元剖析中，网格剖分被认为是难度最高的预处理使命之一；而在现代有限元剖析软件中，初始网格可以在求解进程中主动改动，然后尽或许减小数值解的差错，这种办法称为自适应网格剖分。

　　假如说创立网格是一项高难度的使命，那么在合理的核算时间内挑选和设置求解器并求得方程的解（构成数值模型）就是一项愈加艰巨的作业。这些困难与求解进程中面对的各项应战严密相关。

　　首要，运用代数方程的离散模型或许十分大。一个三维模型往往具有数百万个自由度。依据有限元法的数值模型求解进程的中心环节，是求解大型线性代数方程组。非线性、参数化、特征值和瞬态问题则经过迭代法求解，该办法求解一系列大型线性方程组。

　　一般来说，大型线性方程组很难进行有用求解。虽然可以运用现成的黑箱法，但这种办法关于实践模型而言往往价值过高，相关示例包括依据 LU 因式分化法的直接求解器，或通用的迭代法。

　　为了寻求一个成功且近乎最优的代替计划，有必要运用根底体系的某种结构。关于多物理场问题，这种结构或许并不存在，或许难以辨认。在这种状况下，一个有用的做法是，将问题按物理成分进行分化，然后使分化的结构能被有用运用。现代有限元剖析软件运用几许或代数多重网格法，以加速线性体系的迭代求解进程。

　　有限元剖析求解器的另一个问题来历是模型的非线性。牛顿办法运用部分导数信息来寻求更好的候选解；但只要在当时的估量解与实在的数值解满意挨近时，这种办法才牢靠。实践上，对解的初始猜想值并不总是与实在值满意挨近；在这样的状况下，运用牛顿办法一般无法正确求解。对问题进行不同的简化或松懈或许会有所协助。经过求解更为简略的类似问题来代替原始问题，可以得到候选解。例如，可以疏忽某些非线性来得到一个简略求解的线性问题。为此，咱们开发了分离式求解器和接连求解器。

　　有限元剖析求解器遇到的第三类困难是，数值模型或许不安稳，或许因为其他原因，没有为数学模型供给较好的近似。与更完善、功能更优的数值模型比较，这些状况下的求解进程要显得困难得多。咱们或许很难发现和了解引起这一问题的根本原因。在许多状况下，咱们可以选用某种办法修正模型而不是经过设置求解器作为补救措施。更好的自适应网格一般是模型功能改善的重要组成部分。

　　总而言之，求解器的设置选项需求十分灵敏；一起，还要能调用功用强大的各种办法。咱们往往需求在安稳性和功能之间达到折衷。

　　经过打乱数值模型来研讨其灵敏度，始终是一个很好的做法。可以抵达两个相关意图：查看模型是否具有数值上的安稳性，以及对当时有限元剖析中的一些重要物理量的截断差错进行量化。有限元离散的截断差错一般（但不总是）决议着仿真中的差错。为此，可以将模型中的要害派生值与典型的网格单元尺度进行比较，然后选用不同的网格（在抱负状况下，选用与当时网格显着不同的其他两个网格，且它们互相也存在较大差异）重复进行核算。

　　假如数值模型功能杰出，便可以依据比较成果估量精度阶数。假如精度阶数为正数，则所研讨的两个最精密网格之间的物理量的差值，可以作为该物理量的截断差错估量值。有时，咱们很难创立出满意一切需求的多个网格；在这种状况下，需求运用两个天壤之别的网格的比较成果作为代替办法。

　　假如差值较小，标明该数值模型体现杰出，且这个物理量的截断差错也较小。可是，假如差值较大，则很难得出任何定论。这种差异或许是因为两个网格的不安稳性或精度低形成的。可是，细化网格的解或许是准确的，而粗化网格的解则或许精度较差。即便截断差错估量尚不确认，至少可以扫除模型不安稳的危险（例如，运用与该细化网格适当但不同的其他网格）。其他离散参数和求解器设置（如容差）也应进行更改。假如关于一切“扰动”仿真来说，研讨的物理量只发生了很小程度的改动，则阐明该数值模型具有杰出的安稳性。

　　对数值求解器的核算成果进行的剖析包括：研讨建模场的三维绘图、横截面图（如x-y绘图）以及核算派生值，例如对体、外表或边求积分，或核算沿边或点的表达式的值。

　　在较旧的有限元剖析软件中，有必要先界说要剖析的绘图和派生值，才干进行求解。假如遗失某些要害界说，则意味着需求从头开始从头求解。因而，界说要在后处理进程中剖析的表达式和派生值，也认为是预处理的一部分。

　　现代有限元剖析软件支撑在核算出解之后，动态界说表达式和派生值。在这些软件中，表达式和派生值的界说是后处理的重要组成部分，用于对模型进行深化猜想。

　　依据表达式和派生值生成三维绘图、外表图、x-y 绘图和表格值，然后进行剖析，是正确的后处理操作。

　　依据表达式和派生值生成三维绘图、外表图、x-y 绘图和表格值，然后进行剖析，是正确的后处理操作。

　　翅片顶部（蓝色）和底部（绿色）沿活动方向的压力丢失。因为流体有必要经过横截面相对较大的散热器底座，因而底部的压力丢失略大一些。

　　翅片顶部（蓝色）和底部（绿色）沿活动方向的压力丢失。因为流体有必要经过横截面相对较大的散热器底座，因而底部的压力丢失略大一些。

　　后处理中的一项重要使命是估量数值解中的差错。如上所述，可以经过求解不同网格尺度的数值模型方程，来估量数值解的收敛性，然后完成差错估量。

　　后处理的另一个重要部分是估量模型对不同数据（如资料特点、初始条件、鸿沟条件、载荷、束缚以及数学模型和数值模型所需的其他输入参数）的灵敏度。

　　在运转仿真后，十分重要的一步是将输入数据和仿真成果汇总到陈述中，并在其间记载特定的会话。现代有限元剖析软件支撑界说陈述的结构，用户可以在其间挑选要记载的输入和输出数据。体系可以主动生成此类陈述，您可以将其另存为文档，在将来每次仿真时用作参阅。

　　散热器仿真陈述的第一页。陈述结构创立完成后，陈述便会依据每次仿真成果主动更新，并能以不同的称号进行保存，以记载仿真信息。其间包括一个问题界说部分，记载域设置、鸿沟设置、初始条件、网格、自由度数量等信息。成果包括派生值和模型文件中的绘图。

　　散热器仿真陈述的第一页。陈述结构创立完成后，陈述便会依据每次仿真成果主动更新，并能以不同的称号进行保存，以记载仿真信息。其间包括一个问题界说部分，记载域设置、鸿沟设置、初始条件、网格、自由度数量等信息。成果包括派生值和模型文件中的绘图。

　　如上所述，有限元剖析进程包括许多进程。挑选许多参数（这些参数用于操控求解进程）等许多细节操作已成功完成主动化，无需用户太多重视。如今的有限元剖析软件与上一代产品比较，功能得到了显着提高，价格也显着下降，工程师和小企业也能购买运用。

　　可是，为了进一步开掘有限元剖析的潜力，使其协助人们将更好的工程规划变为实践，需求做的作业还有许多。算法和用户界面都在不断得到改善，关于在各自的特定运用范畴运用有限元剖析东西的工程师、规划者和研讨人员，减轻他们的担负，使其不用花许多的时间和精力来研讨核算办法的细节，是现在的一个重要趋势。新软件接口的开发作业正在进行中，希望能协助有限元剖析专业人员和运用专业人员一起构建专用的剖析东西，使工程师可以专心于规划使命，而不用“时间重视”不断改动的核算细节。

　　跟着价格低廉的云核算资源成为实践，再加上安全的数据传输手法，规划项目中将引进越来越多的核算剖析。数学建模和有限元剖析软件现已在曩昔和现在取得了成功，下一代软件将完成质的腾跃。数值核算不只能削减工程作业量，还能使剖析愈加准确，完成对从概念到出产的整个产品链供给有力支撑。凭借有限元剖析软件进行数学建模，必能照亮未来开展之路！